Question

20．勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣，1955年希臘發(fā)型了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在如圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQO使得∠O=90°，點(diǎn)Q在在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上，點(diǎn)P在x軸正半軸上，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，∠OQP=60°，點(diǎn)H在邊QO上，點(diǎn)D、E在邊PO上，點(diǎn)G、F在邊PQ上，那么點(diǎn)P坐標(biāo)為（7$\sqrt{3}$+6，0）．

Answer 1

分析 在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進(jìn)而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長(zhǎng)，在直角△QRP中運(yùn)用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長(zhǎng)，解答即可．

解答 解：延長(zhǎng)BA交QR于點(diǎn)M，連接AR，AP，
在△ABC與△GFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=GC}\\{∠ACB=∠GCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GFC（SAS），
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等邊三角形．
AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
則QH=HA=HG=AC=2$\sqrt{3}$，
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．AM=HA•cos60°=$\sqrt{3}$，
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4，
∴QR=2$\sqrt{3}$+3+4=7+2$\sqrt{3}$，
∴QP=2QR=14+4$\sqrt{3}$，
PR=QR•$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$+6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7$\sqrt{3}$+6，0）．
故答案為：（7$\sqrt{3}$+6，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查勾股定理問(wèn)題，正確運(yùn)用三角函數(shù)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．