Question

18．在平面直角坐標中．等邊△OAB的OB在x軸上，0B=b，滿足${a}^{2}-10a+25+\sqrt{b-4}=0$，D（a，0）
（1）求a，b的值；
（2）點P為x軸上一點，由點P向直線AB作垂線，垂足為C，點D在x軸上，BC=BD，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點C在AB的延長線上，過點A作直線MN∥x軸，交y軸于點M，交CP的延長線于點N，取AN的中點Q，連接CQ，求△BCQ的面積．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式分解因式，利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a、b的數(shù)值即可；
（2）畫出圖形，求得BD，得出BC，利用30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出求得PB，進一步得出P點坐標即可；
（3）由MN∥x軸，得出△PCB∽△NCA，求得AN，得出AQ，利用△AQC的面積減去△AQB的面積即可得出△BCQ的面積．

解答 解：（1）∵${a}^{2}-10a+25+\sqrt{b-4}=0$，
∴（a-5）²+$\sqrt{b-4}$=0，
∴a-5=0，b-4=0，
∴a=5，b=4；
（2）如圖，

∵D點坐標為（5，0），B點坐標為（4，0），
∴BD=1，
∴BC=BD，
∵PC⊥AB，∠ABO=60°，
∴∠CPB=30°，
∴PB=2，
∴點P的坐標為（2，0）；
（3）如圖，

∵MN∥x軸，
∴△PCB∽△NCA，
∴$\frac{PB}{AN}$=$\frac{BC}{CA}$，
即$\frac{2}{AN}$=$\frac{1}{5}$，
∴AN=10，
∴AQ=5，
∴△BCQ的面積=△AQC的面積-△AQB的面積=$\frac{1}{2}$×5×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，非負數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積計算方法是解決問題的關(guān)鍵．