Question

14．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于點E，連接BD、OB．
（1）求證：△AEC∽△DEB；
（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由同弧的圓周角相等即可得出∠ACE=∠DBE，結合∠AEC=∠DEB，即可證出△AEC∽△DEB；
（2）設⊙O的半徑為r，則CE=2r-2，根據(jù)垂徑定理以及三角形相似的性質即可得出關于r的一元一次方程，解方程即可得出r值，此題得解．

解答 （1）證明：∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，
∴△AEC∽△DEB．
（2）解：設⊙O的半徑為r，則CE=2r-2．
∵CD⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4．
∵△AEC∽△DEB，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{CE}{BE}$，即$\frac{4}{2}=\frac{2r-2}{4}$，
解得：r=5．

點評 本題考查了垂徑定理以及相似三角形的判定與性質，根據(jù)相似三角形的性質找出方程是解題的關鍵．