Question

9．已知直線y=mx-m+4和雙曲線y=$\frac{k}{x}$都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C，分別與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，則：
（1）k=4；
（2）原點(diǎn)O到直線AB的最大距離是$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=mx-m+4=（x-1）m+4無(wú)論m為何值恒過(guò)點(diǎn)C，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，再代入y=$\frac{k}{x}$即可得k的值；
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式整理可得（d²-1）m²+8m+d²-16=0，再由△≥0，即8²-4（d²-1）（d²-16）≥0可求得d的范圍，從而得出答案．

解答 解：（1）∵直線y=mx-m+4=（x-1）m+4無(wú)論m為何值恒過(guò)點(diǎn)C，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=4，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4），
將點(diǎn)C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4，
故答案為：4．

（2）∵原點(diǎn)O到直線AB：y=mx-m+4的距離d=$\frac{|4-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴整理可得（d²-1）m²+8m+d²-16=0，
由△=8²-4（d²-1）（d²-16）≥0，可得0≤d²≤17，
∴0≤d≤$\sqrt{17}$，即原點(diǎn)O到直線AB的最大距離是$\sqrt{17}$，
故答案為：$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)直線橫過(guò)定點(diǎn)得出C的坐標(biāo)及熟記距離公式是關(guān)鍵．