Question

17．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α．過點B作一直線l，在l上取點E，使AE=AC，連接CE．∠CAE的平分線交BE于點N，連接NC．
（1）當α=45°時，AN、BN、CN之間的數(shù)量關系為$\sqrt{2}$AN=BN-CN
（2）當α=30°時．AN、BN、CN之間的數(shù)量關系為$\sqrt{3}$AN=BN-CN
（3）探究AN、BN、CN之間的數(shù)量關系為AN=$\frac{BN-CN}{cosα}$．（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）在BN上截取BF=CN，連接AF，延長AN交CE于G，根據(jù)等腰三角形的性質得到AG垂直平分CE，由線段垂直平分線的性質得到CN=NE，推出∠NCE=∠NEC，由已知條件得到∠ACE=∠AEC，等量代換得到∠ACN=∠AEN，證得∠ABF=∠ACN，推出△ABF≌△ACN，根據(jù)全等三角形的性質得到BF=CN，AF=AN，∠BAF=∠CAN，于是得到∠FAN=∠BAC，根據(jù)三角形的內角和得到∠FAN=∠BAC=90°，于是得到結論；
（2）如圖2，在BN上截取BF=CN，連接AF，延長AN交CE于G，過A作AH⊥BE于H，由（1）證得∠FAN=∠BAC，根據(jù)三角形的內角和得到∠FAN=∠BAC=180°-2×30°=120°，于是得到∠AFH=∠ANH=30°，根據(jù)三角函數(shù)得到HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AN，求得FN=$\sqrt{3}$AN，于是得到結論；
（3）由（1）證得∠FAN=∠BAC，由三角形的內角和得到∠FAN=∠BAC=180°-2α，于是得到∠AFH=∠ANH=α，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到HN=ANcosα，于是得到FN=2ANcosα，即可得到結論．

解答 解：（1）$\sqrt{2}$AN=BN-CN，
在BN上截取BF=CN，連接AF，延長AN交CE于G，
∵AE=AC，AN平分∠CAE，
∴AG垂直平分CE，
∴CN=NE，
∴∠NCE=∠NEC，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠ACN=∠AEN，
∵AB=AC=AE，
∴∠ABF=∠AEB，
∴∠ABF=∠ACN，
在△ABF與△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACN}\\{BF=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACN，
∴BF=CN，AF=AN，∠BAF=∠CAN，
∴∠FAN=∠BAC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FAN=∠BAC=90°，
∴FN=$\sqrt{2}$AN，
∵BN-BF=BN-CN=$\sqrt{2}$AN；
即$\sqrt{2}$AN=BN-CN；
故答案為：$\sqrt{2}$AN=BN-CN；

（2）當α=30°時，
如圖2，在BN上截取BF=CN，連接AF，延長AN交CE于G，過A作AH⊥BE于H，
由（1）證得∠FAN=∠BAC，
∵α=30°，
∴∠FAN=∠BAC=180°-2×30°=120°，
∴∠AFH=∠ANH=30°，
∴HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AN，
∴FN=$\sqrt{3}$AN，
∴$\sqrt{3}$AN=BN-CN；
故答案為：$\sqrt{3}$AN=BN-CN；

（3）由（1）證得∠FAN=∠BAC，
∴∠FAN=∠BAC=180°-2α=，
∴∠AFH=∠ANH=α，
∴HN=ANcosα，
∴FN=2ANcosα，
∴2ANcosα=BN-CN，
即AN=$\frac{BN-CN}{2cosα}$．
故答案為：AN=$\frac{BN-CN}{2cosα}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．