Question

17．先閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題：
材料：從4張不同的卡片中選取2張，有6種不同的選法，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從4個(gè)不同元素中選取2個(gè)元素的組合，組合數(shù)記為${C}_{4}^{2}$=$\frac{4×3}{2×1}$=6．一般地，從n個(gè)不同元素中選取m個(gè)元素的組合數(shù)記作${C}_{n}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=$\frac{n（n-1）（n-2）…（n-m+1）}{m（m-1）（m-2）…2×1}$（m≤n）．
例如：從6個(gè)不同元素中選3個(gè)元素的組合，組合數(shù)記作${C}_{6}^{3}$=$\frac{6×5×4}{3×2×1}$=20
（1）為迎接國(guó)家建設(shè)工作檢查，學(xué)校將舉辦小型書(shū)畫(huà)展覽．王老師在班級(jí)8幅優(yōu)秀書(shū)畫(huà)中選取3幅，共有多少種選法？
（2）探索發(fā)現(xiàn)：
計(jì)算：${C}_{3}^{2}$=3，${C}_{3}^{3}$=1，${C}_{4}^{3}$=4，${C}_{5}^{3}$=10，${C}_{5}^{4}$=5，${C}_{6}^{4}$=15．
由上述計(jì)算，試猜想${C}_{n}^{k}$，${C}_{n}^{k+1}$，${C}_{n+1}^{k+1}$之間有什么關(guān)系．（只寫(xiě)結(jié)論，不需說(shuō)明理由）
（3）請(qǐng)你直接利用（2）中猜想的結(jié)論計(jì)算：${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{5}^{2}$+${C}_{6}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)材料給出的方法直接計(jì)算即可；
（2）根據(jù)新定義分別進(jìn)行計(jì)算；利用計(jì)算結(jié)果得${C}_{3}^{2}$+${C}_{3}^{3}$=${C}_{4}^{3}$，由此規(guī)律可得${C}_{n}^{k}$+${C}_{n}^{k+1}$=${C}_{n+1}^{k+1}$之；
（3）利用（2）中的規(guī)律從左到右依次計(jì)算即可．

解答 解：（1）${C}_{8}^{3}$=$\frac{8×7×6}{3×2×1}$=56
答：共有56種選法． 
（2）${C}_{3}^{2}$=3，${C}_{3}^{3}$=1，${C}_{4}^{3}$=4，${C}_{5}^{3}$=10，${C}_{5}^{4}$=5，${C}_{6}^{4}$=15，
因?yàn)?{C}_{3}^{2}$+${C}_{3}^{3}$=${C}_{4}^{3}$，${C}_{5}^{3}$+${C}_{5}^{4}$=${C}_{6}^{4}$，
所以C^k_n+C_n^k+1=C_n+1^k+1．      
（3）${C}_{4}^{3}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{5}^{2}$+${C}_{6}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$
=${C}_{5}^{3}$+${C}_{5}^{2}$+${C}_{6}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$
=${C}_{6}^{3}$+…+${C}_{10}^{2}$
=${C}_{11}^{3}$
=$\frac{11×10×9}{3×2×1}$
=165．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解．