Question

2．如圖1所示，點(diǎn)E、F在線段AC上，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)；DE，BF分別在線段AC的兩側(cè)，且AE=CF，AB=CD，BD與AC相交于點(diǎn)G．
（1）求證：EG=GF；
（2）若點(diǎn)E在F的右邊，如圖2時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．
（3）若點(diǎn)E、F分別在線段CA的延長線與反向延長線上，其余條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？（要求：在備用圖中畫出圖形，直接判斷，不必說明理由）

Answer 1

分析 （1）先利用HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE，從而得到ED=FB，然后再根據(jù)AAS證明△BFG≌△DGE，從而可證得EG=FG；
（2）先證AF=EC，然后利用HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE，從而得到BF=DE，然后利用AAS證明△BFG≌△DGE，從而可得到EG=FG；
（3）先根據(jù)要求畫出圖形，然后依據(jù)HL證明Rt△ABF≌Rt△CDE，從而得到BF=DE，然后利用AAS證明△BFG≌△DGE，從而可得到EG=FG．

解答 解：（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFE=90°．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF．
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中$\left\{\begin{array}{l}{∠BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS）．
∴EG=FG．
（2）解：（1）中結(jié)論依然成立．
理由如下：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF．
∴AF=CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFE=90°．
在Rt△ABF和Rt△CDE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中$\left\{\begin{array}{l}{BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS）．
∴EG=FG．
（3）（1）中結(jié)論依然成立．
如圖所示：

理由如下：∵AE=CF，
∴AE+ACEF=CF+AC．
∴AF=CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFE=90°．
在Rt△ABF和Rt△CDE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中$\left\{\begin{array}{l}{BFG=∠DEG}\\{∠BGF=∠DGE}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DGE（AAS）．
∴EG=FG．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，證得Rt△ABF≌Rt△CDE、△BFG≌△DGE是解題的關(guān)鍵．