Question

8．已知：如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為⊙O的直徑作圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若AB=3，BC=4，求△DEC的面積．

Answer 1

分析 （1）連結OD、BD，如圖，由圓周角定理得∠ADB=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質得ED=EB=EC，則根據(jù)等腰三角形的性質得∠3=∠4，加上∠1=∠2，于是可得到∠ODE=90°，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）先利用勾股定理計算出AC=5，再利用面積法計算出BD=$\frac{12}{5}$，接著再利用勾股定理計算出CD=$\frac{16}{5}$，則利用三角形面積公式計算出S_△BDC⁼$\frac{96}{25}$，然后利用BE=CE得到S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△BEC=$\frac{48}{25}$．

解答 （1）證明：連結OD、BD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴△BDC為直角三角形，
而E是BC的中點，
∴ED=EB=EC，
∴∠3=∠4，
而OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$AB•AC，
∴BD=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△BDC中，CD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$•$\frac{12}{5}$•$\frac{16}{5}$=$\frac{96}{25}$，
∵BE=CE，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_△BEC=$\frac{48}{25}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．