Question

18．點(diǎn)A、C為半徑是3的圓周上兩點(diǎn)，點(diǎn)B為$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，以線段BA、BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點(diǎn)D恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，則該菱形的邊長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$或2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$或2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$或2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6}$或2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過B作直徑，連接AC交AO于E，①如圖①，根據(jù)已知條件得到BD=$\frac{1}{3}$×2×3=2，如圖②，BD=$\frac{2}{3}$×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，連接OD，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論，

解答 解：過B作直徑，連接AC交AO于E，
∵點(diǎn)B為$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，
①如圖①，
∵點(diǎn)D恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，
∴BD=$\frac{1}{3}$×2×3=2，
∴OD=OB-BD=1，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴OE=2，
連接OD，
∵CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴邊CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{6}$；
如圖②，BD=$\frac{2}{3}$×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
連接OD，
∵CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴邊CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓心角，弧，弦的關(guān)系，勾股定理，菱形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．