Question

13．如圖，在鈍角△ABC中，AD⊥BC，垂足為D點(diǎn)，且AD與DC的長度（AD＞DC）為方程x²-7x+12=0的兩根，⊙O是△ABC的外接圓，如果BD的長為8，求△ABC的外接圓的直徑．

Answer 1

分析 延長AO交⊙O于得E，連接BE，解方程求出AD與DC的長度，根據(jù)勾股定理求出AC和AB的長度，根據(jù)圓周角定理和正弦的定義求出△ABC的外接圓的直徑．

解答 解：延長AO交⊙O于得E，連接BE，
解方程x²-7x+12=0得，x₁=3，x₂=4，
由題意得，AD=4，DC=3，
由勾股定理得，AC=5，
∵BD=8，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{4}{5}$，又∠E=∠C，
∴sinE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{5}$，AB=4$\sqrt{5}$，
∴AE=5$\sqrt{5}$．
答：△ABC的外接圓的直徑是5$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形外接圓與外心的概念和性質(zhì)以及一元二次方程的解法、勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、解出方程、靈活運(yùn)用三角形外心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．