Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（8，1），B（0，-3），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，過點（t，0）且平行于y軸的直線（0＜t＜8），與反比例函數(shù)的圖象交于點M，與直線AB交于點N．
（1）當t=2時，求△BMN的面積；
（2）若MA⊥AB，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)和直線AB的解析式，利用t=2得出M和N的坐標，進而求出△BMN的面積；
（2）求出直線AM的解析式，由反比例函數(shù)解析式和直線AM的解析式組成方程組，解方程組求出M的坐標，即可得出結果．

解答 解：（1）把點A（8，1）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=1×8=8，y=$\frac{8}{x}$，
設直線AB的解析式為：y=ax+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{8a+b=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-3；
當t=2時，M（2，4），N（2，-2），
則MN=6，
∴△BMN的面積=$\frac{1}{2}$×6×2=6；

（2）∵MA⊥AB，
∴設直線MA的解析式為：y=-2x+c，
把點A（8，1）代入得：c=17，
∴直線AM的解析式為：y=-2x+17，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+17}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=1}\end{array}\right.$（舍去），
∴M的坐標為（$\frac{1}{2}$，16），
∴t=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．