Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），C（0，2），點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，點(diǎn)E是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)P．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形CDQP是平行四邊形時(shí)，求m的值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△BDP是不以BD為斜邊的直角三角形？如果存在請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先利用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，進(jìn)而可設(shè)P（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），Q（m，$\frac{1}{2}$m-2），然后利用有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，由PQ=CD列出關(guān)于m的方程，求解即可；
（3）分兩種情況：點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)與點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，分別過直角頂點(diǎn)作BD的垂線，求出其解析式，然后與拋物線聯(lián)立得到方程組，求出方程組的解即為點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得a=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，c=2，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如圖1，∵點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對應(yīng)點(diǎn)，C（0，2），
∴D（0，-2），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{4k+n=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{2}$，n=-2，
則直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
由點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在BD上，PE⊥x軸，E（m，0），
設(shè)P（m，$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），Q（m，$\frac{1}{2}$m-2），
∵PQ∥CD，
∴當(dāng)PQ=CD時(shí)，四邊形CDQP是平行四邊形，
∴$-\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m-2）=4，
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∴m的值為2；

（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)D作DP⊥BD，交拋物線于點(diǎn)P，
∵直線BD：y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴設(shè)直線DP的解析式為y=-2x+d，
由D（0，-2），得d=-2，則直線DP的解析式為y=-2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-18）或（-1，0）；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作BP⊥BD，交拋物線于點(diǎn)P，
設(shè)直線BP：y=-2x+e，
由B（4，0），得-8+e=0，解得e=8，
∴直線BP：y=-2x+8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（8，-18），P₂（-1，0），P₃（3，2）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行四邊形的判定，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題等知識(shí)，具有一定的綜合性，解答本題時(shí)要數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，解答（3）的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論思想，不要漏解．