Question

9．如圖，在正方形ABCD中，以AD為邊作等邊三角形ADE，點E在正方形內(nèi)部，將AB繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段AF，連結(jié)EF．求證：四邊形ADEF是菱形．

Answer 1

分析 首先利用等邊三角形的性質(zhì)可得AD=DE=AE，∠DAE=60°，進而可得∠BAE=30°，再根據(jù)將AB繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段AF可得AB=AF，∠BAF=30°，然后可證出△AEF是等邊三角形，從而可得AF=EF=DE=AD，再根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形可得四邊形ADEF是菱形．

解答 證明：如圖，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=AE，∠DAE=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAE=30°．
∵AB=AF，∠BAF=30°，
∴AF=AE，∠EAF=60°．
∴△AEF是等邊三角形．
∴AF=EF=DE=AD．
∴四邊形ADEF是菱形；

證法二：
證明：如圖，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE，∠DAE=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=AF，∠BAF=30°，
∴AF=DE，∠EAF=∠AED=60°．
∴AF∥DE，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．
∴AD=DE．
∴平行四邊形ADEF是菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握四邊相等的四邊形是菱形．