Question

17．某企業(yè)為了增收節(jié)支，設(shè)計了一款成本為20元∕件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）把上表中x、y的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，根據(jù)所描出的點猜想y是x的什么函數(shù)，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成本總價）
（3）為了支持希望工程，在實際的銷售過程中該公司決定每銷售一件工藝品就捐a（a＜4）元給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單元價不超過51/件時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價x的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）描點，由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，任選兩點求表達(dá)式，再驗證猜想的正確性；
（2）利潤=銷售總價-成本總價=單件利潤×銷售量．據(jù)此得表達(dá)式，運(yùn)用性質(zhì)求最值；
（3）設(shè)總利潤為m元，根據(jù)條件可以得出每件工藝用品的利潤為（x-20-a）元，再根據(jù)總利潤=銷售總價-成本總價建立函數(shù)關(guān)系式即可

解答 解：（1）畫圖如圖；
由圖可猜想y與x是一次函數(shù)
設(shè)這個一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0）
∵這個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（30，500）
（40，400）這兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{500=30k+b}\\{400=40k+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=800}\end{array}\right.$
∴函數(shù)關(guān)系式是：y=-10x+800（0≤x≤80）
（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000
∴當(dāng)x=50時，W有最大值9000．
所以，當(dāng)銷售單價定為50元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．
（3）設(shè)總利潤為M元，則每件工藝用品的利潤為（x-20-a）元，由題意，得
M=（-10x+800）（x-20-a），
=-10x²+10（100-a）x-16000-800a，
=-10（x-50-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{5}{2}$（100+a）²-16000-800a，
∵a=-10＜0，
∴拋物線的開口向下，在對稱軸的左側(cè)M隨x的增大而增大．
∴x=50+$\frac{1}{2}$a時，M有最大值．
∵日銷售利潤M隨銷售單價x的增大而增大，且x≤51，
∴50+$\frac{1}{2}$a≥51，
∴a≥2．
∵a＜4，
∴2≤a＜4．

點評 本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點式的運(yùn)用，不等式的解法和運(yùn)用，解答時建立二次函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解是關(guān)鍵．