Question

7．閱讀下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$×（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$×（3×4×5-2×3×4），
由以上三個等式相加，可得 1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20．
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫出過程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

Answer 1

分析 由1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），…，得出n（n+1）=$\frac{1}{3}$[（n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，由此規(guī)律進一步拆開抵消得出答案即可．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$×10×11×12
=440．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

點評 此題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．