Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，EF分別交AC、BD于點(diǎn)E、F，且EO平分∠AEF．
（1）EF與⊙O相切嗎？為什么？
（2）設(shè)AE=4，BF=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF于H，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥AC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OH=OA，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷EF為⊙O的切線；
（2）過(guò)E點(diǎn)作EG⊥BD于G，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BD，則四邊形ABGE為矩形，所以EG=AB，BG=AE=4，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到EH=EA=4，F(xiàn)H=FB=9，則GF=BF-BG=5，EF=EH+FH=13，
然后在Rt△EGF中利用勾股定理計(jì)算出EG即可得到⊙O的半徑．

解答 解：（1）EF與⊙O相切．理由如下：
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EF于H，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，
∴AB⊥AC，
∵EO平分∠AEF，
而OH⊥EF，
∴OH=OA，
∴EF為⊙O的切線；
（2）過(guò)E點(diǎn)作EG⊥BD于G，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的切線，
∴AB⊥BD，
∴四邊形ABGE為矩形，
∴EG=AB，BG=AE=4，
∵EF為⊙O的切線，
∴EH=EA=4，F(xiàn)H=FB=9，
∴GF=BF-BG=5，EF=EH+FH=13，
在Rt△EGF中，EG=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴AB=12，
∴⊙O的半徑為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”； 有切線時(shí)，常�！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．