Question

3．新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做“友好三角形”．
（1）把圖一的等腰直角三角形分成兩個三角形，使它們成為“友好三角形”．
（2）請?jiān)谟疫叿礁窦垼ㄈ鐖D二）中，畫兩個三角形，使這兩個三角形是“友好三角形”．
（3）已知：如圖，⊙O的半徑為2，弦$AB=2\sqrt{3}$，點(diǎn)C、D是⊙O上的兩個動點(diǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時，則有2個點(diǎn)D，使得△ABD與△ABC是“友好三角形”．
②當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時，記點(diǎn)C到AB的距離為h，試探究點(diǎn)D的個數(shù)與h取值情況之間的關(guān)系，使得△ABD與△ABC是“友好三角形”．

Answer 1

分析 （1）作BC邊上的中線AD，△ABD與△ACD為“友好三角形”．
（2）利用“友好三角形”的定義得出，△ABC與△DEF為“友好三角形”．
（3）作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M，連接AO，由⊙O的半徑為2，弦$AB=2\sqrt{3}$，利用勾股定理得OM的值．
①由點(diǎn)C在劣弧AB上，可得點(diǎn)C到AB的距離0＜d≤1，分兩種情況Ⅰ當(dāng)0＜d＜1時，Ⅱd=1時分別求解即可；
②當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時，分Ⅰ當(dāng)0＜h＜1時，Ⅱ當(dāng)h=1時，Ⅲ當(dāng)1＜h＜3時，Ⅳ當(dāng)h=3時，分別求解即可．

解答 解：（1）如圖一，作BC邊上的中線AD，△ABD與△ACD為“友好三角形”．

（2）如圖二，△ABC與△DEF為“友好三角形”．

（3）①如圖三，作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M，連接AO，

∵⊙O的半徑為2，弦$AB=2\sqrt{3}$，
∴OM=$\sqrt{A{O}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
∵點(diǎn)C在劣弧AB上，
∴點(diǎn)C到AB的距離0＜d≤1，
Ⅰ，當(dāng)0＜d＜1時，如圖四，

∵圖中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，△ABD₄與△ABC面積相等，但△ABD₁，△ABD₂與△ABC全等，
∴有2個點(diǎn)，使△ABD與△ABC是“友好三角形”．
Ⅱ，d=1時，如圖五，

∵圖中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，與△ABC面積相等，但△ABD₁與△ABC全等，
∴有2個點(diǎn)，使△ABD與△ABC是“友好三角形”．
故答案為：2．
②Ⅰ，當(dāng)0＜h＜1時，如圖六，

∵圖中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，△ABD₄與△ABC面積相等，但△ABD₁，△ABD₂與△ABC全等，
∴有2個點(diǎn)，使△ABD與△ABC是“友好三角形”．
Ⅱ，當(dāng)h=1時，如圖七，

∵圖中有△ABD₁，△ABD₂，△ABD₃，與△ABC面積相等，但△ABD₁，△ABD₂與△ABC全等，
∴有1個點(diǎn)，使△ABD與△ABC是“友好三角形”．
Ⅲ，當(dāng)1＜h＜3時，如圖八，

∵圖中有△ABD₁，△ABD₂與△ABC面積相等，但兩個三角形與△ABC全等，
∴有0個點(diǎn)，使△ABD與△ABC是“友好三角形”．
Ⅳ，當(dāng)h=3時，如圖九，

∵圖中只有△ABD與△ABC面積相等，但兩個三角形全等，
∴有0個點(diǎn)，使△ABD與△ABC是“友好三角形”．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的綜合題，涉及等腰三角形的性質(zhì)，作圖，全等三角形的判定及等底等高的三角形面積相等，解題的關(guān)鍵是正確作圖找出與△ABC面積相等的三角形，再利用“友好三角形”的定義求解．