Question

11．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD使點D落在BC邊上的E處，已知折痕AF=10cm，且tan∠FEC=$\frac{3}{4}$．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）利用尺規(guī)作圖求作與四邊形AEFD各邊都相切的⊙O的圓心O（只須保留作圖痕跡），并求出⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）在Rt△EFC中利用三角函數(shù)定義得tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=$\frac{3}{4}$，則可設FC=3k，EC=4k，利用勾股定理可計算得EF=5k，再根據(jù)折疊的性質得DF=EF=5k，AD=AE，∠AEF=∠D=90°，則DC=DF+CF=8k，于是AB=CD=8k，利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，接著在Rt△ABE中，利用正切的定義得到BE=6k，則利用勾股定理可得AE=10k，所以AD=10k，然后在Rt△ADF中利用勾股定理得（10k）²+（5k）²=10²，解得k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，然后計算矩形ABCD的面積；
（2）如圖，作∠ADF的平分線交AF于O點，由于AF平分∠EAD和∠EFD，則點O到四邊形AEFD各邊的距離相等，這樣作OH⊥AD于H，以點O為圓心，OH為半徑作⊙O，⊙O為所作，設⊙O的半徑為r，易得OH=DH=r，然后證明△AOH∽△AFD，然后利用相似比可計算出r．

解答 解：（1）在Rt△EFC中，∵tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=$\frac{3}{4}$，
∴設FC=3k，EC=4k，
∴EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=5k，
∵折疊矩形ABCD的一邊AD使點D落在BC邊上的E處，
∴DF=EF=5k，AD=AE，∠AEF=∠D=90°，
∴DC=DF+CF=5k+3k=8k，
∴AB=CD=8k，
∵∠AEB+∠FEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC
在Rt△ABE中，∵tan∠BAE=tan∠FEC=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴BE=6k，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10k，
∴AD=10k，
在Rt△ADF中，∵AD²+DF²=AF²，
∴（10k）²+（5k）²=10²，解得k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴矩形ABCD的面積=10k•8k=80•$\frac{4}{5}$=64；
（2）如圖，作∠ADF的平分線交AF于O點，作OH⊥AD于H，以點O為圓心，OH為半徑作⊙O即可，
設⊙O的半徑為r，
∵∠ODH=45°，
∴△OHD為等腰直角三角形，
∴OH=DH=r，
∵OH∥DF，
∴△AOH∽△AFD，
∴$\frac{OH}{DF}$=$\frac{AH}{AD}$，即$\frac{r}{5k}$=$\frac{10k-r}{10k}$，
∴r=$\frac{10}{3}$k=$\frac{10}{3}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
即⊙O的半徑為$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了復雜作圖和相似三角形的判定與性質．