Question

8．如圖，已知雙曲線(xiàn)y₁=$\frac{k}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，1），點(diǎn)C是雙曲線(xiàn)第三象限分支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥x軸，過(guò)點(diǎn)D作BD⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面積為12，
①若直線(xiàn)CD的解析式為y₂=ax+b，求a、b的值；
②根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍；
③判斷直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）①先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到BD的距離，然后求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
②根據(jù)圖象即可得到y(tǒng)₁＞y₂時(shí)x的取值范圍；
③根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)由法求出直線(xiàn)AB的解析式，可知與直線(xiàn)CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答 解：（1）∵雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，1），
∴$\frac{k}{6}$=1，
解得k=6；

（2）①設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），DB⊥y軸，
∴BD=6，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×6•h=12，
解得h=4，
∵點(diǎn)C是雙曲線(xiàn)第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-4=-3，
∴$\frac{6}{x}$=-3，
解得x=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-3），
則$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=-3}\\{6a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$；
②由圖象知當(dāng)x＜-2或0＜x＜6時(shí)，y₁＞y₂，
③AB∥CD．
理由如下：∵CA⊥x軸，DB⊥y軸，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，$\frac{6}{c}$），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（c，0），B（0，1），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{mc+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{c}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
所以，直線(xiàn)AB的解析式為y=-$\frac{1}{c}$x+1，
設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=ex+f，
則$\left\{\begin{array}{l}{ec+f=\frac{6}{c}}\\{6e+f=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{1}{c}}\\{f=\frac{c+6}{c}}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)CD的解析式為y=-$\frac{1}{c}$x+$\frac{c+6}{c}$，
∵AB、CD的解析式k都等于-$\frac{1}{c}$，
∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的求解，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用．