Question

20．如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上的一點(diǎn)，BD⊥CD，垂足位點(diǎn)D，BC平分∠DBA．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑長為5，BC=8，求：CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由角平分線和等腰三角形的性質(zhì)得出∠2=∠3，證出OC∥BD，再由BD⊥CD，得出OC⊥CD，即可得出結(jié)論；
（2）連接AC，由圓周角定理得出∠BCA=90°，由勾股定理求出AC，證明△ABC∽△CBD，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB}$，即可求出CD的長．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1所示：
∵BC平分∠DBA，
∴∠1=∠2，
∵OB=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接AC，如圖2所示：
∵AB為直徑，
∴∠BCA=90°，AB=2×5=10，
∴∠BCA=∠BDC=90°，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
又∵∠1=∠2，
∴△ABC∽△CBD，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB}$，
即$\frac{CD}{6}=\frac{8}{10}$，
∴CD=4.8．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的判定方法，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．