Question

16．如圖，∠BDC=2∠ACB，CE=BD，EF∥AB，求證：AB=FB．

Answer 1

分析 如圖，作點F關(guān)于直線BC的對稱點F′，連接F′B、F′C、F′A．則有CF=CF′，∠ACN=∠F′CB，∠BFC=∠BF′C，由EF∥AB，推出$\frac{CF′}{AC}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BD}{CD}$，得到$\frac{CF′}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，推出△ACF′∽△CDB，得∠ABC=∠AF′C，推出A、B、F′、C四點共圓，由此可以證明∠BAF=∠BFA，即可解決問題．

解答 證明：如圖，作點F關(guān)于直線BC的對稱點F′，連接F′B、F′C、F′A．則有CF=CF′，∠ACN=∠F′CB，∠BFC=∠BF′C．

∵EF∥AB，
∴$\frac{CF′}{AC}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{CF′}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，
∵∠BDC=2∠ACB=∠ACF′，
∴△ACF′∽△CDB，
∴∠ABC=∠AF′C，
∴A、B、F′、C四點共圓，
∴∠BF′C+∠BAC=180°，
∵∠BFA+∠BFC=180°，∠BFC=∠BF′C，
∴∠BAF=∠BFA，
∴AB=FB．

點評 本題考查四點共圓、相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，學會利用對稱的方法添加輔助線，題目有一定的難度．