Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，延長DC交AB的延長線于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，BE=7$\sqrt{2}$，求線段PC的長．

Answer 1

分析 （1）由AC平分∠DAB得∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，由于AD⊥DC，所以O(shè)C⊥DC，則可根據(jù)切線的判定定理得到PD是⊙O的切線；
（2）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則∠ACE=∠BCE=45°，所以∠ABE=∠ACE=∠BAE=∠BCE=45°，則可判斷△AEB為等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$BE=14，在Rt△ACB中利用正切定義設(shè)AC=4x，BC=3x，則AB=5x，所以5x=14，解得x=$\frac{14}{5}$，則AC=$\frac{56}{5}$，BC=$\frac{42}{5}$，接著證明Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似比計算出AD=$\frac{224}{25}$，CD=$\frac{168}{25}$，然后證明△POC∽△PAD，利用相似的性質(zhì)得$\frac{PC}{PC+\frac{168}{25}}$=$\frac{7}{\frac{224}{25}}$，再利用比例性質(zhì)可計算出PC．

解答 （1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴PD是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)AE，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵弦CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°，∠BAE=∠BCE=45°，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×7$\sqrt{2}$=14，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AC=4x，BC=3x，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5x，
∴5x=14，解得x=$\frac{14}{5}$，
∴AC=$\frac{56}{5}$，BC=$\frac{42}{5}$，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{AD}{\frac{56}{5}}$=$\frac{\frac{56}{5}}{14}$=$\frac{CD}{\frac{42}{5}}$，
∴AD=$\frac{224}{25}$，CD=$\frac{168}{25}$，
∵OC∥AD，
∴△POC∽△PAD，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{PC}{PC+\frac{168}{25}}$=$\frac{7}{\frac{224}{25}}$，
∴PC=24．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．