Question

5．等腰梯形的中位線長為10，一條對角線平分一個(gè)60°的底角，則該等腰梯形的周長是$\frac{100}{3}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，得到一個(gè)菱形和一個(gè)等邊三角形，由已知可推出下底是上底的二倍，根據(jù)梯形中位線定理可求得上，下底的長，從而不難求得其周長．

解答 解：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，中位線EF=10，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
方法一：過點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°，
∴AD=AB=DC，
∵AD∥BC，AB∥DG，
∴AD=BG，△DGC為等邊三角形，
∴CG=CD，
∴BC=2AD，
∵EF=10，
∴AD+BC=3AD=20，
∴AD=$\frac{20}{3}$，BC=$\frac{40}{3}$，
∴等腰梯形的周長為：$\frac{20}{3}$+$\frac{20}{3}$+$\frac{40}{3}$+$\frac{20}{3}$=$\frac{100}{3}$．

方法二：∵∠BDC=90°，∠C=60°，
∴∠DBC=30°，
∴Rt△BCD中，DC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴AB=AD，
即AD=AB=DC，
∵BC=2DC=2AD，
∴AD+2AD=20，
即AD=$\frac{20}{3}$，
∴等腰梯形的周長為：$\frac{20}{3}$+$\frac{20}{3}$+$\frac{40}{3}$+$\frac{20}{3}$=$\frac{100}{3}$．
故答案為$\frac{100}{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及梯形中位線定理的運(yùn)用，注意梯形中常見的輔助線：平移一腰．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．