Question

11．如圖，已知半徑為4的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（4＜x＜8）
（1）當x=5時，求弦PA、PB的長度；
（2）當x為何值時，PD•CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥l，則AB∥PC，所以∠CPA=∠PAB，再根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠APB=90°，則可判斷△PCA∽△APB，利用相似比可計算出AP=2$\sqrt{10}$，然后利用勾股定理可計算出PB=2$\sqrt{6}$；
（2）如圖，過O作OE⊥PD，垂足為E，根據(jù)垂徑定理得到PF=FD，易得四邊形OECA為矩形，則CE=OA=4，所以PE=ED=x-4，接著表示出PD和CD，則PD•PC=2（x-4）•（8-x）=-2（x-6）²+8，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）∵⊙O與直線l相切于點A，AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥l，
又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠PCA=∠APB，
∴△PCA∽△APB，
∴PC：AP=AP：AB，即5：AP=AP：8，
∴AP=2$\sqrt{10}$，
在Rt△APB中，PB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
（2）如圖，過O作OE⊥PD，垂足為E，
∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，
∴PF=FD，
在矩形OECA中，CE=OA=4，
∴PE=ED=x-4，
CD=PC-PD=x-2（x-4）=8-x，
∴PD•PC=2（x-4）•（8-x）=-2x²+24x-64=-2（x-6）²+8，
∵4＜x＜8，
∴當x=6時，PD•CD的值最大，最大值為8．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)．