Question

11．（1）已知二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸只有一個交點：
①b、c的關系式為b²=c；
②設直線y=9與該拋物線的交點為A、B，則|AB|=6；
③若該拋物線上有兩個點C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．
（2）若二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸有兩個交點E（5，0）、F（k，0），且線段EF（含端點）上有若干個橫坐標為整數(shù)的點，這些整數(shù)之和為18：
①b、c的關系式為c=10b-25；
②k的取值范圍是7≤k＜8；當k為整數(shù)時，b=6．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則（2b）²-4c=0，由此可得到b、c 應滿足關系；
②把y=9代入y=x²-2bx+bc，得到方程x²-2bx+bc-9=0，根據(jù)根與系數(shù)的關系和①的結(jié)論即可求得；
③把A（m，n）、B（m+4，n）分別代入拋物線的解析式，再根據(jù)①的結(jié)論即可求出n的值；
（2）①因為y=x²-2bx+c圖象與x軸交于E（5，0），即可得到25-10b+c=0，所以c=10b-25；
②根據(jù)①的距離進而得到k=2b-5，再根據(jù)E、F之間的整數(shù)和為18，即可求出k的取值范圍和b的值．

解答 解：（1）①∵二次函數(shù)y=x²-2bx+c的圖象與x軸只有一個交點，
∴（2b）²-4c=0，
∴b²=c；
故答案為b²=c；
②把y=9代入y=x²-2bx+c得，9=x²-2bx+c，
∴x²-2bx+c-9=0，
∵x₁+x₂=2b，x₁x₂=c-9，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2b）²-4（c-9）=36，
∴|AB|=|x₁-x₂|=6；
故答案為6；
③|CD|=|x_C-x_D|=|m-（m+4）|=4，
∵m+4）²-2b（m+4）+b²，解得b=m+2，
代入n=m²-2bm+b²，解得n=4；
（2）①∵y=x²-2bx+c圖象與x軸交于E（5，0）
∴25-10b+c=0，
∴c=10b-25；
故答案為c=10b-25；
②∵c=10b-25，
∴y=x²-2bx+c=10b-25，令y=0得x²-2bx+10b-25=0
解得：x₁=5，x₂=2b-5，即k=2b-5；
∵整數(shù)和為18，則7≤k＜8，
∴k=7，
∴7=2b-5，解得b=6．
故答案為7≤k＜8，6．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了根的判別式，二次函數(shù)與x軸的交點問題，二次函數(shù)與不等式的關系，題目的綜合性較強，難度不小，對學生的解題能力要求很高，是一道不錯的中考壓軸題．