Question

2．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD邊上一動點(diǎn)，連接PA，分別過點(diǎn)B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F．
（1）如圖①，請?zhí)骄緽E、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明．
（2）如圖②，若點(diǎn)P在DC的延長線上，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并注明；
（3）如圖③，若點(diǎn)P在CD的延長線上呢？直接寫出結(jié)論不需證明．

Answer 1

分析 （1）DE+EF=BE．根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明△DAF≌△ABE即可；
（2）DE-EF=BE．運(yùn)用類比思想，根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明△DAF≌△ABE即可；
（3）EF=BE+DF．證明方法類比（1）、（2）．

解答 解：（1）DE+EF=BE，理由如下：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
即∠BAE+∠EAD=90°，
∵BE⊥PA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠EAD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EAD}\\{∠AEB=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABE，
∴AE=DF，BE=AF
∴DF+EF=AE+EF=AF=BE，即DE+EF=BE．
（2）DE-EF=BE，理由如下：
在正方形ABCD中AB=AD，∠BAD=90°，
即∠BAE+∠EAD=90°
∵BE⊥PA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠EAD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EAD}\\{∠AEB=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABE，
∴AE=DF，BE=AF，
∵AE-EF=AF，即DE-EF=BE；
（3）EF=BE+DF．
理由如下：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
即∠BAE+∠FAD=90°
∵BE⊥PA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠FAD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA
∴∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FAD}\\{∠AEB=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△ABE，
∴AE=DF，BE=AF，
∵EF=AF+AE，
∴EF=BE+DF．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用類比思想，在變化中發(fā)現(xiàn)不變是解決問題的關(guān)鍵．