Question

10．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，D為AB的中點，點P是AB上的一個動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F．
（1）求證：AE=PE；
（2）求證：DE=DF；
（3）連接EF，EF的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先證明∠CAB=45°，∠AEP=90°，從而可得到∠EAP=∠APE，故此AE=EP；
（2）連接CD，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知：CD=AD，然后由等腰三角形三線合一可求得∠DCF=45°，然后由矩形的性質(zhì)可證得：AE=CF，從而可證明△ADE≌△CDF；
（3）由矩形的性質(zhì)可知EF=CP，然后由垂線段最短可知CP⊥AB時，CP最短，從而可求得CP的長．

解答 證明：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
在△AEP中，∠APE=180°-90°-45°=45°，
∴∠EAP=∠APE．
∴AE=EP；
（2）連接CD．

∵∠C=90°，D為AB的中點，
∴CD=AD．
∵AC=BC，D是AB的中點，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°．
∴∠A=∠FCD．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠ECF=∠PEC=∠PFC=90°．
∴四邊形EPCF是矩形．
∴EP=CF
∵AE=PF
∴AE=CF
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF
∴DE=DF
（3）∵四邊形EPCF是矩形
∴EF=CP
∴EF最小時，CP也最小．
由垂線段最短可知：當CP⊥AB時，PC最短．
∴當點P為AB的中點，CP最�。�
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$
∴EF的最小值=CP=$\frac{1}{2}AB=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查的是矩形的性質(zhì)和判定、求得三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．