Question

4．如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，∠APB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點(diǎn)E、F，則EF的長是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OE、OC，OC交EF于D，由圓周角定理得出 $\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，如果連接OC交EF于D，根據(jù)垂徑定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得：OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=2．在Rt△OED中求出ED的長，即可得出EF的值．

解答 解：如圖所示，
∵PC是∠APB的角平分線，
∴∠APC=∠CPB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
連接OC，交EF于點(diǎn)D，則OC⊥AB；
∵M(jìn)N是△ABC的中位線，
∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD=$\frac{1}{2}$OC=2．
連接OE，根據(jù)勾股定理，得：DE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2ED=4$\sqrt{3}$．
故答案是：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的中位線，綜合運(yùn)用了圓周角定理及其推論發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形，再進(jìn)一步根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及中位線定理，求得EF的弦心距，最后結(jié)合垂徑定理和勾股定理求得弦長．