Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（-1，0），C（$\sqrt{2}$-1，1），D（0，-3），A，B在x軸上，且P為AB中點，S_△CAP=1．
（1）求經(jīng)過A、D、B三點的拋物線的表達(dá)式．
（2）把拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到一個新的圖象G，點Q在此新圖象G上，且S_△APQ=S_△APC，求點Q坐標(biāo)．
（3）若一個動點M自點N（0，-1）出發(fā)，先到達(dá)x軸上某點（設(shè)為點E），再到達(dá)拋物線的對稱軸上某點（設(shè)為點F），最后運(yùn)動到點D，求使點M運(yùn)動的總路程最短的點E、點F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形面積公式求出AP=2，則利用P為AB中點可確定A點和B點之間，然后利用交點式求拋物線解析式；
（2）如圖1，利用翻折的性質(zhì)得到圖象G的解析式為y=x²+2x-3（x＜-3或x＞1），y=-x²-2x+3（-3≤x≤1），則利用三角形點Q的縱坐標(biāo)為1，然后解方程x²+2x-3=1或-x²-2x+3=1可得到點Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，先利用求出點N關(guān)于x軸對稱點N′（0，1），點D關(guān)于對稱軸的對稱點D′（-2，-3），連接N′D′交x軸于E，交直線x=-1于點F，則利用兩點之間線段最短可判斷此時點M運(yùn)動的總路程最短，再利用待定系數(shù)法求出直線N′D′的解析式，然后確定E點和F點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵S_△CAP=1，C（$\sqrt{2}$-1，1），
∴$\frac{1}{2}$•AP•1=1，
∴AP=2，
∵P為AB中點，P（-1，0），
∴A（-3，0），B（1，0）；
設(shè)過A、B、D三點的拋物線的表達(dá)式為y=a（x+3）（x-1），
把D（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=1，
∴過A、B、D三點的拋物線的表達(dá)式為y=x²+2x-3；
（2）如圖1，拋物線y=x²+2x-3沿x軸翻折所得的新拋物線關(guān)系式為y=-x²-2x+3，
∴圖象G的解析式為y=x²+2x-3（x＜-3或x＞1），y=-x²-2x+3（-3≤x≤1）
∵S_△APQ=S_△APC=1，
∴點Q到x軸的距離為1，
∴點Q的縱坐標(biāo)為1，
∴x²+2x-3=1或-x²-2x+3=1，
解得x²+2x+3=1得x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$；解方程-x²-2x+3=1得x₁=-1+$\sqrt{3}$，x₂=-1-$\sqrt{3}$；
∴所求Q點的坐標(biāo)為：（-1+$\sqrt{5}$，1），（-1-$\sqrt{5}$，1），（-1+$\sqrt{3}$，1），（-1-$\sqrt{3}$，1）；
（3）如圖2，
∵N（0，-1），
∴點N關(guān)于x軸對稱點N′（0，1），
∵點D（0，-3），
∴點D關(guān)于對稱軸的對稱點D′（-2，-3），
連接N′D′交x軸于E，交直線x=-1于點F，
∵EN=EN′，F(xiàn)D=FD′，
∴NE+EF+FD=EN′+EF+FD′=N′D′，
∴此時點M運(yùn)動的總路程最短，
設(shè)直線N′D′的解析式為y=kx+b，
把N′（0，1），D′（-2，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線N′D′的關(guān)系式為y=2x+1，
∴E（-$\frac{1}{2}$，0），
當(dāng)x=-1時，y=-1，
∴F（-1，-1）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．利用兩點之間線段最短解決（3）問的最短路徑問題．