Question

10．（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等，求∠EAF的度數(shù)；
（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN=45°，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，BM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若DN=3$\sqrt{7}$，BM=3$\sqrt{2}$，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由HL證明△ABE≌△AGE、△AGF≌△ADF即可，只需證明一對(duì)全等，另一對(duì)同理可證；
（2）先證明△AMN≌△AHN，進(jìn)而證明△NHD是直角三角形即可；
（3）利用（2）中結(jié)論建立方程，解之即可．

解答 解：（1）如圖①，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理∠GAF=∠DAF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$=45°；
（2）如圖②，
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由題意知△ABM≌ADH，
∴∠ADH=∠ABM=45°，AH=AM，
∴∠BDH=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAN+∠DAH=45°，
即∠NAH=45°，
在△AMN和△AHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴HN=MN，
在Rt△NDH中，NH²=DH²+ND²，
∴MN²=BM²+DN²；
（3）如圖③，由（2）中結(jié)論可知：MN²=BM²+DN²，
∵DN=3$\sqrt{7}$，BM=3$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{B{M}^{2}+D{N}^{2}}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．本題是經(jīng)典的“大角夾半角”模型，其基本證明方法必須熟練掌握．第（2）問(wèn)當(dāng)中所證明的結(jié)論可以認(rèn)為是等腰直角三角形或正方形的重要性質(zhì)，可直接記住，在解決一些相關(guān)的幾何證明和計(jì)算時(shí)會(huì)有很大幫助．