Question

18．如圖，直線m是矩形ABCD的一條對稱軸，∠ADB=30°，點P是直線m上一點，且使得△PAB和△PAD均為等腰三角形，則滿足條件的點P共有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得△PAD為等腰三角形，△PAB為等腰三角形，有三種可能：AP=AB或BP=BA或PA=PB．若AP=AB，則點P在以點A為圓心，AB
為半徑的圓與直線m的交點處；若BP=BA，則點P在以點B為圓心，BA為半徑的圓與直線m的交點處；若PA=PB，則點P在AB的垂直平分線與直線m的交點處．
畫出圖象，就可解決問題．

解答 解：∵直線m是矩形ABCD的一條對稱軸，點P是直線m上一點，
∴PA=PC，∠A=90°，
∴△PAD為等腰三角形．
∵∠ADB=30°，
∴∠ABD=60°．
∵△PAB為等腰三角形，
∴AP=AB或BP=BA或PA=PB．
如圖所示，

由圖可知：滿足條件的點P共有3個．
故選C．

點評 本題主要考查了等腰三角形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，需要注意的是等腰△PAB并沒有指明哪個是腰，需分三種情況討論，在數(shù)滿足條件的點的個數(shù)時，要考慮有沒有重合的現(xiàn)象．