Question

14．觀察算式：1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，…
（1）請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：6×8+1=7²；
（2）用含n的等式表示上面的規(guī)律：n（n+2）+1=（n+1）²；
（3）用找到的規(guī)律解決下面的問(wèn)題：
計(jì)算：$（1+\frac{1}{1×3}）（1+\frac{1}{2×4}）（1+\frac{1}{3×5}）…（1+\frac{1}{2013×2015}）$．

Answer 1

分析 （1）（2）等式的左邊是相差為2的兩個(gè)數(shù)相乘，再加上1；右邊是兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)的平方，由此規(guī)律得出答案即可；
（3）利用以上規(guī)律，計(jì)算交錯(cuò)約分得出答案即可．

解答 解：（1）∵1×3+1=4=2²
2×4+1=9=3²
3×5+1=16=4²
4×6+1=25=5²
…
∴6×8+1=7²；
（2）由（1）可得出，第n個(gè)式子表達(dá)式為：n（n+2）+1=（n+1）²；
（3）原式=$\frac{1×3+1}{1×3}$×$\frac{2×4+1}{2×4}$×$\frac{3×5+1}{3×5}$×…×$\frac{2013×2015+1}{2013×2015}$
=$\frac{{2}^{2}}{1×3}$×$\frac{{3}^{2}}{2×4}$×$\frac{{4}^{2}}{3×5}$×…×$\frac{201{4}^{2}}{2013×2015}$
=$\frac{2×2014}{2015}$
=$\frac{4028}{2015}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字中的變與不變是解題關(guān)鍵．