Question

12．如圖，將正方形ABCD的四邊各延長一倍．即DM=AD，CN=CD，AQ=AB，BP=BC．連接M，N，P，Q四點，試判斷MNPQ的形狀，并予以證明．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)可以得出AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，就可以得出∠MAQ=∠QBP=∠PCN=∠MDN=90°，由條件就可以得出△MAQ≌△QBP≌△PCN≌△NDM，就可以得出MQ=QP=PN=NM，∠PQM=90°，就可以得出結(jié)論．

解答 解：四邊形MNPQ為正方形．
理由：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠QAM=∠PBQ=∠NCP=∠MDN=90°．
∵DM=AD，CN=CD，AQ=AB，BP=BC，
∴DM=CN=BP=AQ，
∴AB+AQ=AD+DM=CD+CN=CB+BP，
∴BQ=AM=DN=CP．
在△MAQ和△QBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=BP}\\{∠QAM=∠PBQ}\\{BQ=AM}\end{array}\right.$，
∴△MAQ≌△QBP（SAS），
∴MQ=QP，∠AMQ=∠BQP，∠AQM=∠BPQ．
∵∠BPQ+∠BQP=90°，
∴∠AQM+∠BQP=90°，
即∠PQM=90°，
同理可得，△QBP≌△PCN≌△NDM，
∴QP=PN=NM，
∴MQ=QP=PN=NM，
∴四邊形MNPQ為菱形．
∵∠PQM=90°，
∴菱形MNPQ為正方形．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)及正方形的判定的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．