Question

7．2015年年初，南方草莓進(jìn)入采摘旺季，某公司經(jīng)營(yíng)銷售草莓的業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價(jià)格向農(nóng)戶收購(gòu)后，分揀成甲、乙兩類，甲類草莓包裝后直接銷售，乙類草莓深加工后再銷售．甲類草莓的包裝成本為1萬元/噸，當(dāng)甲類草莓的銷售量x＜8噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格y=-x+14，當(dāng)甲類草莓的銷售量x≥8噸時(shí)，它的平均銷售價(jià)格為6萬元/噸；乙類草莓深加工總費(fèi)用s（單位：萬元）與加工數(shù)量t（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系為s=12+3t，平均銷售價(jià)格為9萬元/噸．
（1）某次該公司收購(gòu)了20噸的草莓，其中甲類草莓有x噸，經(jīng)營(yíng)這批草莓所獲得的總利潤(rùn)為w萬元；
①求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若該公司獲得了30萬元的總利潤(rùn)，求用于銷售甲類的草莓有多少噸？
（2）在某次收購(gòu)中，該公司準(zhǔn)備投入100萬元資金，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種經(jīng)營(yíng)方案，使該公司獲得最大的總利潤(rùn)，并求出最大的總利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)2≤x＜8時(shí)及當(dāng)x≥8時(shí)，分別求出w關(guān)于x的表達(dá)式．注意w=銷售總收入-經(jīng)營(yíng)總成本=w_A+w_B-3×20；
②若該公司獲得了30萬元毛利潤(rùn)，將30萬元代入①中求得的表達(dá)式，求出A類草梅的數(shù)量；
（2）本問是方案設(shè)計(jì)問題，總投入為100萬元，這筆100萬元包括購(gòu)買草莓的費(fèi)用+A類草梅加工成本+B類草莓加工成本．共購(gòu)買了m噸草莓，其中A類草莓為x噸，B類草莓為（m-x）噸，分別求出當(dāng)2≤x＜8時(shí)及當(dāng)x≥8時(shí)w關(guān)于x的表達(dá)式，并分別求出其最大值．

解答 解：（1）①設(shè)銷售A類草莓x噸，則銷售B類草莓（20-x）噸．
①當(dāng)2≤x＜8時(shí)，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
當(dāng)x≥8時(shí)，
w_A=6x-x=5x；
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
∴w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：
w=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+7x+48（2≤x＜8）}\\{-x+48（x≥8）}\end{array}\right.$．
②當(dāng)2≤x＜8時(shí)，-x²+7x+48=30，解得x₁=9，x₂=-2，均不合題意；
當(dāng)x≥8時(shí)，-x+48=30，解得x=18．
∴當(dāng)毛利潤(rùn)達(dá)到30萬元時(shí)，直接銷售的A類草莓有18噸．

（2）設(shè)投入資金后甲類分到收購(gòu)的草莓為x噸，乙類為y噸，
總投入為3（x+y）+x+12+3y=100，
即：2x+3y=44，
當(dāng)x＜8時(shí)總利潤(rùn)為w=（-x+14）x+9×$\frac{44-2x}{3}$-100=-x²+8x+32=-（x-4）²+48，
當(dāng)x=4時(shí)，取到最大值48；
當(dāng)x≥8時(shí)，總利潤(rùn)w=6x+9×$\frac{44-2x}{3}$-100=32為常數(shù)，
故方案為收購(gòu)16噸，甲類分配4噸，乙類分配12噸，總收益為48萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)、一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，難度較大．解題關(guān)鍵是理清售價(jià)、成本、利潤(rùn)三者之間的關(guān)系．涉及到分段函數(shù)時(shí)，注意要分類討論．