Question

8．如圖，已知拋物線y=x²-2x+m交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于C點，且OB=OC，連接BC，
（1）直接寫出m的值和B，C兩點的坐標；
（2）P點在直線BC下方的拋物線上，△BCP的面積為S，求S最大時，P的坐標；
（3）拋物線的對稱軸交拋物線于D點，交x軸于E點，在拋物線上是否存在點M，過M點作MN⊥BD于N點，使△DMN與△BDE相似？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用OB=OC進而表示出B點坐標，進而求出即可；
（2）首先求出BC的解析式，進而利用配方法求出拋物線的頂點坐標得出答案；
（3）分別利用①若M在對稱軸左邊的拋物線上，②若M在對稱軸右邊的拋物線上，求出M點坐標即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2x+m交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于C點，且OB=OC，
∴CO=-m，BO=-m，
則B點坐標為：（-m，0），
將B點坐標代入y=x²-2x+m得：
0=m²+2m+m，
解得：m₁=-3，m₂=0（不合題意舍去），
則B（3，0），C（0，-3）；

（2）拋物線y=x²-2x-3，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
設(shè)P（x，y），則
 S=$\frac{1}{2}$×3[（x-3）-（x²-2x-3）]
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x，
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴y=（$\frac{3}{2}$）²-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$，
∴P的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；

（3）存在．D（1，-4），
①如圖，若M在對稱軸左邊的拋物線上，記為M₁，M₁N₁⊥BD于N₁，
當△M₁DN₁∽△DBE時，∠M₁DN₁=∠DBE
延長DM₁交x軸于G點，則DG=BG，
設(shè)G點坐標為（x，0），BG=x+3
由勾股定理得DG=$\sqrt{D{E}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（x+1）^{2}}$，
∴x+3=$\sqrt{{4}^{2}+（x+1）^{2}}$，
解得，x=2，
∴G點坐標為（-2，0），
可得直線DG的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{1}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{20}{9}}\end{array}\right.$
∴M₁的坐標為：（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；
②如圖，若M在對稱軸右邊的拋物線上，記為M₂，M₂N₂⊥BD于N₂，
當BH⊥x軸于點B，BH=DH，
設(shè)BH=x，則DH=x，故（4-x）²+2²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
則H（3，-$\frac{5}{2}$），
可得直線DH的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{19}{4}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{19}{4}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{55}{16}}\end{array}\right.$
可得M₂的坐標為（$\frac{7}{4}$，-$\frac{55}{16}$），
綜上所述：M點的坐標為：（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（$\frac{7}{4}$，-$\frac{55}{16}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論的思想得出M點坐標是解題關(guān)鍵．