Question

17．已知關(guān)于x的方程（x-k）²-x=k²-4k+2．
（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根x₁、x₂滿足|x₁-x₂|=5．求k的值；
（3）當(dāng)?shù)妊�三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）整理成一般形式，根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以只需證明△≥0即可；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=4k-2，|x₁-x₂|=5，即（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，建立k的方程求得答案即可；
（3）分b=c，兩邊長(zhǎng)b、c有一邊是4，利用等腰三角形的性質(zhì)與三邊關(guān)系探討得出答案即可．

解答 （1）證明：方程整理成一般形式為x²-（2k+1）x+4k-2=0
△=[-（2k+1）]²-4×1×（4k-2）
=4k²-12k+9
=4（k-$\frac{3}{2}$）²，
∵無論k取什么實(shí)數(shù)值，（k-$\frac{3}{2}$）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵x₁、x₂是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，
∴x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=4k-2，
∵|x₁-x₂|=5，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2k+1）²-4（4k-2）=25，
解得k=4或k=-1；
（3）解：當(dāng)b=c時(shí)，k-$\frac{3}{2}$=0，解得k=$\frac{3}{2}$，x₁=x₂=（2k+1）÷2=2；
x²+x-6=0，x=-3或x=2，不合題意，舍去；
當(dāng)兩邊長(zhǎng)b、c有一邊是4時(shí)，（4-k）²-4=k²-4k+2，解得k=$\frac{5}{2}$，
關(guān)于x的方程（x-k）²-x=k²-4k+2即x²-6x+8=0，x=2或x=4，
等腰△ABC的三邊為2、2、4（構(gòu)不成三角形）或2、4、4，
因此△ABC的周長(zhǎng)為2+4+4=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．