Question

19．已知：關(guān)于的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的兩根是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)．
（1）求k實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{5}$時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則判別式△≥0，得出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．
（2）根據(jù)勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于k的方程，求出k的值并檢驗(yàn)．

解答 解：（1）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂
則△=[-（k+1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3，
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△≥0，
即2k-3≥0，
∴k≥$\frac{3}{2}$．

（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=k+1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}{k}^{2}+1}\end{array}\right.$，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值為2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程求得k的值．