Question

6．已知a²+b²-6a-8b=-25，求a、b的值．
分析：“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)皆為零．”當(dāng)一個(gè)等式里含有幾個(gè)未知數(shù)時(shí)，若能將該等式化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，便能利用上述性質(zhì)來(lái)求解．
例如，將方程a²+b²-6a-8b=-25化為（a-3）²+（b-4）²=0，從而求得a=3，b=4；
再如，將方程a+b-2$\sqrt{a}$-2$\sqrt{b-1}$+1=0化為a-2$\sqrt{a}$+1+（b-1）-2$\sqrt{b-1}$+1=0，再將方程左邊配成兩個(gè)完全平方式的和（$\sqrt{a}$-1）²+（$\sqrt{b-1}$-1）²=0．從而求得a=1，b=2．
試用類似的方法解決下面的問題：
（1）已知a+b=2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0），求$\frac{\sqrt{4a-b}}{\sqrt{5a+7b}}$的值．
（2）已知a+b+c=2$\sqrt{a-2}$+4$\sqrt{b-1}$+6$\sqrt{c+3}$-14，求a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）首先把a(bǔ)+b=2$\sqrt{ab}$，整理得出（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²=0，得出a=b，進(jìn)一步代換求得數(shù)值即可；
（2）類比給出的方法將方程左邊配成三個(gè)完全平方式的和，進(jìn)一步利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a、b、c的值．

解答 解：（1）∵a+b=2$\sqrt{ab}$，
∴（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²=0，
∴a=b，
∴$\frac{\sqrt{4a-b}}{\sqrt{5a+7b}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵a+b+c=2$\sqrt{a-2}$+4$\sqrt{b-1}$+6$\sqrt{c+3}$-14，
∴a-2-2$\sqrt{a-2}$+1+b-1-4$\sqrt{b-1}$+4+c+3-6$\sqrt{c+3}$+9=0，
∴（$\sqrt{a-2}$-1）²+（$\sqrt{b-1}$-2）²+（$\sqrt{c+3}$-3）²=0，
∴$\sqrt{a-2}$-1=0，$\sqrt{b-1}$-2=0，$\sqrt{c+3}$-3=0，
∴a=3，b=5，c=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查配方法的運(yùn)用，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．