Question

13．如圖，已知M、N為△ABC的邊BC上的兩點，且滿足BM=MN=NC，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點D、E和F，求$\frac{EF}{DE}$的值．

Answer 1

分析 過N、M分別作AC的平行線交AB于H、G，交AM于K，如圖，利用平行線分線段成比例定理得到BG=GH=AH，利用三角形中位線性質(zhì)得到KH=$\frac{1}{2}$GM，GM=$\frac{1}{2}$NH，則HK=$\frac{1}{4}$NH，所以$\frac{HK}{KN}$=$\frac{1}{3}$，然后利用DF∥NH得到$\frac{HK}{DE}$=$\frac{AK}{AE}$，$\frac{NK}{EF}$=$\frac{AK}{AE}$，然后利用比例性質(zhì)可求出$\frac{EF}{DE}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：過N、M分別作AC的平行線交AB于H、G，交AM于K，如圖，
∵BM=MN=NC，
∴BG=GH=AH，
∵HK∥GM，
∴KH=$\frac{1}{2}$GM，GM=$\frac{1}{2}$NH，
∴HK=$\frac{1}{4}$NH，
∴$\frac{HK}{KN}$=$\frac{1}{3}$，
∴DF∥NH，
∴$\frac{HK}{DE}$=$\frac{AK}{AE}$，$\frac{NK}{EF}$=$\frac{AK}{AE}$，
∴$\frac{HK}{DE}$=$\frac{NK}{EF}$，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{HK}{NK}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．作GM∥AC，NH∥AC構(gòu)造平行線分線段成比例的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．