Question

13．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）請判斷以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形的形狀；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式列方程組求解即可求得系數(shù)b、c，把一般式變形為頂點(diǎn)式可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出線段BC、BD、CD的長，判斷△BCD的形狀；
（3）分別從當(dāng)AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及當(dāng)AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，分別求出即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入y=x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）如圖1，連接BC、CD、BD，DM⊥x軸，DN⊥y軸，垂足分別為M、N，
∵y=x²-2x-3與y軸的交點(diǎn)C（O，-3），A（-1，0）、B（3，0），D（1，4），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2+}{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{1}^{2+}{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵（3$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=（2$\sqrt{5}$）²
∴BC²+CD²=BD²
∴△BCD是直角三角形；
（3）如圖2，
①當(dāng)AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-4或4，
當(dāng)x=-4時，y=21；當(dāng)x=4時，y=5；
所以此時點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-4，21），P₂的坐標(biāo)為（4，5）；
②當(dāng)AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點(diǎn)為G，PQ必過G點(diǎn)且與y軸交于Q點(diǎn)，
過點(diǎn)P₃作x軸的垂線交于點(diǎn)H，
可證得△P₃HB≌△Q₃OA，
∴AO=BH，
∴GO=GH，
∵線段AB的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，
∴此時點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2，
由此當(dāng)x=2時，y=-3，
∴這是有符合條件的點(diǎn)P₃（2，-3），
∴所以符合條件的點(diǎn)為：P₁的坐標(biāo)為（-4，21），P₂的坐標(biāo)為（4，5）；P₃（2，-3）．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．