Question

9．如圖，在△ABC中，AB=7，AC=3，G為BC的中點，DG⊥BC交∠BAC的平分線AD于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F交AC的延長線于F，下列說法正確的是（　　）
①△ADE≌△ADF；②BE=CF；③AE=5．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據角平分線的性質得DE=DF，則根據“HL”可證明Rt△ADE≌Rt△ADF；連接DB、DC，可判定DG垂直平分BC，則DB=DC，于是根據“HL”判斷Rt△DBE≌Rt△DCF，所以BE=CF；利用Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF，則AB-BE=AC+CF，則計算出BE=CF=2，于是得到AE=5．

解答 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），所以①正確；
連接DB、DC，
∵G為BC的中點，DG⊥BC
∴DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DBE和Rt△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF，所以②正確；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∴AB-BE=AC+CF，
即7-BE=3+BE，解得BE=2，
∴AE=AB-BE=7-2=5，所以③正確．
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．也考查了角平分線的性質和線段垂直平分線的性質．