Question

20．如圖，已知過點(diǎn)A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿MA作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)．設(shè)PQ與MN交于點(diǎn)G．
（1）經(jīng)過多少時(shí)間，線段PQ的長度為2？
（2）寫出線段PQ長度的平方y(tǒng)與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）研究表明存在時(shí)間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似，請求出時(shí)間t，并直接給出此時(shí)△GPM的形狀．

Answer 1

分析 （1）先由題意求出P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的速度，再設(shè)經(jīng)過t分鐘，線段PQ的長度為2，用y表示出PM及QM的長，由勾股定理即可求出t的值；
（2）由（1）中PM及QM的長度即可得出線段PQ長度的平方，y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；
（3）由于兩相似三角形的對應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵A（2，4），∴OM=AN=2，AM=ON=4，
∵P點(diǎn)1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，Q點(diǎn)1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)，
∴P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是2個(gè)單位每分鐘，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是4個(gè)單位每分鐘，
設(shè)經(jīng)過t秒，則PM=2-2t，MQ=4t，
在Rt△PQM中，PM²+MQ²=PQ²，即（2-2t）²+16t²=4，
20t²-4t=0，解得t=$\frac{2}{5}$或0（舍去），
即經(jīng)過$\frac{2}{5}$秒，線段PQ的長度為2．

（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ²=PM²+QM²，
即y=（2-2t）²+16t²，
即y=20t²-8t+4；

（3）當(dāng)△PMQ∽△MON時(shí)，
$\frac{PM}{OM}$=$\frac{MQ}{ON}$，
即$\frac{2-2t}{2}$=$\frac{4t}{4}$，
解得：t=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)△QMP∽△MON時(shí)，
$\frac{QM}{OM}$=$\frac{MP}{ON}$，
即$\frac{4t}{2}$=$\frac{2-2t}{4}$，
解得：t=$\frac{1}{5}$，
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$時(shí)，P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似．

點(diǎn)評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意用t表示出PM及QM的長度是解答此題的關(guān)鍵．