Question

17．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于 D，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，連接CD，給出四個(gè)結(jié)論：
①AE=2BD；      ②DC=DB；      ③AB-AC=CE；     ④CE=2FC；
其中正確的結(jié)論有①②③④．（只需要填寫序號(hào)）

Answer 1

分析 注意到AD具備“兩種功能”：角平分線、垂線；因此，延長(zhǎng)BD、AC交于點(diǎn)G，則三角形ABG就是等腰，從而AB=AG，BD=DG，四個(gè)個(gè)判斷不言而喻．

解答 解：①延長(zhǎng)BD、AC交于點(diǎn)G，如圖1，

∵AD⊥BD，AD平分∠CAB，
∴∠DAG=∠DAB，
∵∠G+∠DAG=90°，∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠G=∠ABD，
∴AG=AB，DG=DB，
∵∠BCG=90°，
∴CD=BD=DG，故②正確，
∵AC⊥BC，
∴∠CAE+∠CEA=∠DEB+∠DBE=90°，
∴∠CAE=∠DBE，
在△CAE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠BCG}\\{∠CAE=∠CBG}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△CBG（AAS），
∴AE=BG=2BD，CE=CG，故①正確；
②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，如圖2，

∵∠ABC=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
∵AE平分∠CAB，
∴EH=CE，
∴BH=CG，
∴AB-AC=CE，故③正確；
③如圖1，
∵DF⊥AC，
∴DF∥BC，
∵BD=DG，
∴CF=FG，
∴CE=2FC，故④正確．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一、中位線等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．解答本題的突破口是發(fā)現(xiàn)AD是“三線”，如果有某條線既是角平分線又是垂線，那么以這條線為對(duì)稱軸一定“隱藏”著一個(gè)等腰三角形，通過(guò)輔助線把等腰三角形暴露出來(lái)，問(wèn)題往往可以迎刃而解．