Question

9．如圖，在等腰△OAB中，OA=OB，以點O為圓心，作圓與底邊AB相切于點C．
（1）求證：AC=BC；
（2）若AB=24，OC=9，求等腰△OAB的周長．

Answer 1

分析 （1）連結OC，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥AB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到AC=BC；
（2）由（1）得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=12，再在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OA=15，然后根據(jù)三角形周長定義求解．

解答 （1）證明：連結OC，如圖，
∵AB與⊙O相切于點C，
∴OC⊥AB，
又∵△OAB為等腰三角形，
∴AC=BC；

（2）解：AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=12，
在Rt△AOC中，∵AC=12，OC=9，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=15，
∴等腰△OAB的周長=OA+OB+BC
=15+15+24
=54．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．