Question

18．如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點(diǎn)E在AB上，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，點(diǎn)G在FE的延長(zhǎng)線上，且GA=GE．
（1）判斷AG與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由EF⊥BC得出∠ABO+∠BEF=90°，由等邊對(duì)等角得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE，所以∠BAO+∠GAE=∠ABO+∠BEF=90°，即可證得AG與⊙O相切．
（2）根據(jù)勾股定理求得BC=10，然后根據(jù)△BEF∽△BCA．對(duì)應(yīng)邊成比例求得EF=1.8，BF=2.4，進(jìn)而求得OF=2.6，應(yīng)用勾股定理求得即可．

解答 （1）AG與⊙O相切．
證明：如圖 連接OA，
∵OA=OB，GA=GE，
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE．
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°．
∴∠ABO+∠BEF=90°．
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF．
∴∠BAO+∠GAE=90°．
∴OA⊥AG，即AG與⊙O相切．
（2）解：∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°．
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10．
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA．
∴$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EF}{CA}$．
∴EF=1.8，BF=2.4，
∴OF=OB-BF=5-2.4=2.6．
∴OE=$\sqrt{EF^2+OF^2}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．