Question

1．梯形的兩底之差為a，兩腰為a、b，若梯形內可作一內切圓，求梯形的面積．

Answer 1

分析 作AE∥CD交BC于點E，則四邊形AECD是平行四邊形，得出AE=CD=b，CE=AD，BC-AD=BC-CE=BE=a，作AF⊥BC于F，設EF=x則BF=a-x，由勾股定理求出AF，由圓外切四邊形的性質得出AB+CD=AD+BC=a+b，即可得出梯形的面積．

解答 解：如圖所示：
作AE∥CD交BC于點E，
則四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE=CD=b，CE=AD，BC-AD=BC-CE=BE=a，
作AF⊥BC于F，
設EF=x則BF=a-x，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，根據勾股定理得：
a²-（a-x）²=AF²①，b²-x²=AF²②，
由①②得：AF=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-^{2}}}{2a}$，
∵四邊形ABCD有內切圓，由圓外切四邊形的性質得：
AB+CD=AD+BC=a+b，
∴梯形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（a+b）×$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-^{2}}}{2a}$=$\frac{b（a+b）\sqrt{4{a}^{2}-^{2}}}{4a}$．

點評 本題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、圓外切四邊形的性質；本題綜合性強，有一定難度．