Question

12．已知拋物線C₁：y=ax²+bx+$\frac{3}{2}$（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0）．
（1）求拋物線C₁的解析式，并寫出其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，把拋物線C₁沿著直線AC方向平移到某處時(shí)得到拋物線C₂，此時(shí)點(diǎn)A，C分別平移到點(diǎn)D，E處．設(shè)點(diǎn)F在拋物線C₁上且在x軸的下方，若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，EN⊥EM交直線BF于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)：①tan∠ENM的值如何變化？請(qǐng)說明理由；②點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，直接寫出點(diǎn)P經(jīng)過的路線長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)求得直線AC的解析式為y=x+1，根據(jù)題意求得EF=4，求得EF∥y軸，設(shè)F（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），則E（m，m+1），從而得出（m+1）-（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）=4，解方程即可求得F的坐標(biāo)；
（3）①先求得四邊形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根據(jù)△EGN∽△EMC，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得tan∠ENM=$\frac{EM}{EN}$=2；
②根據(jù)勾股定理和三角形相似求得EN=$\sqrt{10}$，然后根據(jù)三角形中位線定理即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y=ax²+bx+$\frac{3}{2}$（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\frac{3}{2}=0}\\{9a+3b+\frac{3}{2}=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；
（2）如圖1，作CH⊥x軸于H，
∵A（-1，0），C（1，2），
∴AH=CH=2，
∴∠CAB=∠ACH=45°，
∴直線AC的解析式為y=x+1，
∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠ACH，
∴EF∥y軸，
∵DE=AC=2$\sqrt{2}$，
∴EF=4，
設(shè)F（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），則E（m，m+1），
∴（m+1）-（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）=4，
解得m=3（舍）或m=-3，
∴F（-3，-6）；
（3）①tan∠ENM的值為定值，不發(fā)生變化；
如圖2，∵DF⊥AC，BC⊥AC，
∴DF∥BC，
∵DF=BC=AC，
∴四邊形DFBC是矩形，
作EG⊥AC，交BF于G，
∴EG=BC=AC=2$\sqrt{2}$，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN=90°，
∵∠CEG=90°，
∴∠CEM=∠NEG，
∴△ENG∽△EMC，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EC}{EG}$，
∵F（-3，-6），EF=4，
∴E（-3，-2），
∵C（1，2），
∴EC=$\sqrt{（-3-1）^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=2，
∴tan∠ENM=$\frac{EM}{EN}$=2；
∵tan∠ENM的值為定值，不發(fā)生變化；
②∵直角三角形EMN中，PE=$\frac{1}{2}$MN，直角三角形BMN中，PB=$\frac{1}{2}$MN，
∴PE=PB，
∴點(diǎn)P在EB的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P經(jīng)過的路徑是線段，如圖3，
∵△EGN∽△ECB，
∴$\frac{EN}{EB}$=$\frac{EG}{EC}$，
∵EC=4$\sqrt{2}$，EG=BC=2$\sqrt{2}$，
∴EB=2$\sqrt{10}$，
∴$\frac{EN}{2\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，
∴EN=$\sqrt{10}$，
∵P₁P₂是△BEN的中位線，
∴P₁P₂=$\frac{1}{2}$EN=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
∴點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路線長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，難點(diǎn)在于（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形和三角形的中位線．