Question

16．如圖，在邊長都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，
（1）sin∠BAC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，PC=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$．
（2）求tan∠DPA的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中利用勾股定理可計算出AB，即可得到結(jié)論；
（2）作BH⊥PC于H點，則△BHC為等腰直角三角形，所以BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，易得△PDB∽△PCA，所以$\frac{PD}{PC}$=$\frac{DB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，利用DC=$\sqrt{2}$可得到PC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，則PH=PC-CH=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，在Rt△PHB中，根據(jù)正切定義得到tan∠HPB的值，然后根據(jù)對頂角相等求解．

解答 解：（1）由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴CD=$\sqrt{2}$，
∵BD∥AC，
∴△BDP∽△ACP，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{3}{4}$CD=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$；
故答案為：$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$\frac{3}{4}\sqrt{2}$；

（2）過點B作BH⊥CD于H，
如圖，∴△BHC為等腰直角三角形，
∴BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵DB∥AC，
∴△PDB∽△PCA，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{DB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
而DC=$\sqrt{2}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴PH=PC-CH=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
在Rt△PHB中，tan∠HPB=$\frac{BH}{PH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$=2，
∴tan∠APD=2．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．