Question

1．已知二次函數(shù)y=4x²-4ax+a²-2a+2，
（1）當(dāng)a=0，2，4時(shí)，請(qǐng)?jiān)谕�一直角坐�?biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，并畫(huà)出a=2 時(shí)的函數(shù)圖象；
（2）證明當(dāng)a取任意實(shí)數(shù)時(shí)，頂點(diǎn)在一條確定的直線上；
（3）求（2）中的直線被拋物線y=4x²-4ax+a²-2a+2截得的線段長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用配方法將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點(diǎn)式，由此可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入a=0、a=2、a=4找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫(huà)出a=2時(shí)，二次函數(shù)的圖象即可；
（2）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$a，-2a+2），消去a后即可得出y=-4x+2，此題得證；
（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出線段長(zhǎng)度即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=4x²-4ax+a²-2a+2=4（x-$\frac{1}{2}$a）²-2a+2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$a，-2a+2）．
當(dāng)a=0時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
當(dāng)a=2時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），拋物線的解析式為y=4（x-1）²-2；
當(dāng)a=4時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-6）．
畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示．
（2）證明：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$a，-2a+2），
∴-2a+2=-4×（$\frac{1}{2}$a）+2，
∴y=-4x+2，即當(dāng)a取任意實(shí)數(shù)時(shí)，頂點(diǎn)在一條確定的直線上．
（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+2}\\{y=4{x}^{2}-4ax+{a}^{2}-2a+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{1}{2}a-1}\\{{y}_{1}=-2a+6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1}{2}a}\\{{y}_{2}=-2a+2}\end{array}\right.$，
∴兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$a-1，-2a+6），（$\frac{1}{2}$a，-2a+2），
∴（2）中的直線被拋物線y=4x²-4ax+a²-2a+2截得的線段長(zhǎng)為$\sqrt{[\frac{1}{2}a-（\frac{1}{2}a-1）]^{2}+[-2a+2-（-2a+6）]^{2}}$=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的三種形式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用配方法將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點(diǎn)式；（2）消去a找出頂點(diǎn)坐標(biāo)所在的直線；（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．