Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=10，AD=2DC，連對角線AC、BD相交于點(diǎn)E
（1）①求證：BD平分∠ADC；②計(jì)算$\frac{AE}{CE}$的值
（2）如圖2，點(diǎn)P是DE上一動點(diǎn)，連PC，過點(diǎn)P作PQ⊥PC交邊AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QF⊥BD于點(diǎn)F，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動過程中，猜想PF與BD的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，①解法一，根據(jù)對角互補(bǔ)的四邊形四點(diǎn)共圓得：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，由同弧所對的圓周角相等得：∠BAC=∠BDC，∠ACB=∠ADB，由等腰直角△ABC可知：∠BAC=∠ACB=45°，所以∠BDC=∠ADB=45°，從而得結(jié)論；
解法二，取兩直角三角形斜邊AC的中點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半構(gòu)建兩個(gè)等腰三角形，利用等腰三角形三線合一得：BG⊥AC，則∠AGB=90°，再根據(jù)等邊對等角和外角定理可得出結(jié)論；
②由角平分線性質(zhì)列比例式得出；
（2）如圖2，BD=$\frac{3}{2}$FP，理由是：先根據(jù)勾股定理求AC、AD、DC的長，由$\frac{AE}{EC}$=2求EC的長，過C作CM⊥BD于M，構(gòu)建直角△CMP，證明△QFP∽△PMC，列比例式$\frac{FQ}{PM}=\frac{FP}{MC}$，設(shè)BF=a，則QF=2a，代入列方程求出PM=a，得到FP=2MC，再由線段的和得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，①解法一：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BAC=∠BDC，∠ACB=∠ADB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠BDC=∠ADB=45°，
∴BD平分∠ADC；
解法二：取AC的中點(diǎn)G，連接BG，做射線DG，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BG=$\frac{1}{2}$AC，DG=$\frac{1}{2}$AC，
∴AG=DG=BG，
∴∠GAD=∠ADG，∠GBD=∠GDB，
設(shè)∠ADG=x，∠GDB=y，
∴∠ADB=x+y，
∵AB=BC，G是AC的中點(diǎn)，
∴BG⊥AC，
∴∠AGB=90°，
∵∠AGO=∠GAD+∠ADG=2x，∠BGO=∠GBD+∠GDB=2y，
∴2x+2y=90°，
x+y=45°，
∴∠ADB=45°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∴BD平分∠ADC；
②∵BD平分∠ADC；
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{CE}$，
∵AD=2DC，
∴$\frac{AE}{CE}$=2；
（2）如圖2，BD=$\frac{3}{2}$FP，理由是：
在Rt△ABC中，AB=BC=10，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
由$\frac{AE}{EC}$=2得：EC=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△ADC中，設(shè)DC=x，則AD=2x，
則x²+（2x）²=（10$\sqrt{2}$）²，
解得：x=±2$\sqrt{10}$，
∴CD=2$\sqrt{10}$，AD=4$\sqrt{10}$，
過C作CM⊥BD于M，
∵∠BDC=45°，
∴△MDC為等腰直角三角形，
∴CM=DM=$\frac{CD}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠DBC+∠ABD=90°，
∠ABD+∠BQF=90°，
∴∠DBC=∠BQF，
∵∠DBC=∠CAD，
∴∠BQF=∠CAD，
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BQF=$\frac{BF}{QF}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BF=a，則QF=2a，
同理得∠MPC=∠FQP，
∵∠CMP=∠QFP=90°，
∴△QFP∽△PMC，
∴$\frac{FQ}{PM}=\frac{FP}{MC}$，
∴$\frac{2a}{PM}=\frac{PM+4\sqrt{5}-a}{2\sqrt{5}}$，
（PM+4$\sqrt{5}$）（PM-a）=0，
∴PM=a，
∴$\frac{FP}{MC}=\frac{2}{1}=2$，
∴FP=2MC=2MD=2（MP+PD）=2（BF+PD），
∴BD=BF+PD+FP=$\frac{1}{2}$FP+FP=$\frac{3}{2}$FP．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形、角平分線等性質(zhì)，四邊形與三角形結(jié)合，相似與三角函數(shù)相結(jié)合，列比例式，并設(shè)未知數(shù)，代入列方程可求解．